À medida que milhões de pessoas saíam da emoção das recentes finais do Campeonato do Mundo da FIFA, um tipo diferente de excitação estava a fermentar na comunidade matemática.
Levent Alpoge, um matemático que trabalha na empresa de inteligência artificial (IA) Anthropic, criou uma coisa muito acidental. declaração em x Ele havia encontrado um contra-exemplo para a conjectura Jacobiana, um problema muito antigo e conhecido no campo da matemática chamado geometria algébrica. Eles fizeram isso usando o grande modelo de linguagem Cloud Fable 5 da Anthropic, que foi lançado ao público em geral há apenas algumas semanas.
Esta é a mais recente de muitas descobertas matemáticas surpreendentes feitas por matemáticos que trabalham com grandes modelos de linguagem. Mas parece um pouco diferente daqueles que vieram antes.
Qual é a estimativa Jacobiana?
Em primeiro lugar, qual é a estimativa? Esta é uma ideia que alguns matemáticos acreditam ser verdadeira, mas ninguém foi capaz de prová-la ou refutá-la.
Agora vamos à estimativa Jacobiana. É bastante abstrato, mas não muito difícil de descrever.
Adivinhar envolve funções, que são como pequenas máquinas que você coloca um ou mais números e retira outros números de acordo com uma regra ou equação. Neste caso, as funções usam o que chamamos de polinômios.
Especificamente, trata-se de situações em que os números representam pontos num espaço, como coordenadas num mapa. Portanto, podemos imaginar que quando a função recebe alguns números e cospe outros números, está a mover pontos no espaço.
Você pode testar o quão “bem” uma função gira tudo no espaço calculando algo chamado determinante Jacobiano. Se o determinante Jacobiano for sempre um número constante diferente de zero, então a função nunca dobra ou comprime o espaço em torno de um ponto específico.
A conjectura Jacobiana afirma que quando o determinante Jacobiano é uma constante diferente de zero, deve sempre existir outra função, composta por polinômios, que inverta a origem. Isso retornará todos os pontos à sua posição inicial.
Nem toda função é reversível. Por exemplo, se a nossa função inicial move duas origens para um ponto, não podemos revertê-la. Depois que os pontos se fundem, não conseguimos mais diferenciá-los para devolvê-los à posição correta.
Uma longa história de tentativas e fracassos
Uma versão bidimensional da conjectura Jacobiana foi relatada pelo matemático tcheco Ludwig Kraus em 1884. Ela foi generalizada para qualquer número de dimensões pelo matemático alemão Ott-Heinrich Keller em 1939.
Foi considerado tão atraente que o medalhista Fields Stephen Smalley o incluiu em sua lista de 1998 Problemas matemáticos para o próximo século.
Ao longo de sua longa história, o Jacobiano tem sido objeto de conjecturas. muitas evidências alegadasQue inclui dois matemáticos famosos do século 20, Beniamino Segre e Wolfgang Gröbner. Contudo, em cada caso, foram encontrados erros sutis que invalidaram os argumentos.
Apesar disso, tem havido várias tentativas legítimas de mostrar que a conjectura é verdadeira, com diversas restrições. Os resultados computacionais também mostraram que isso é verdade em duas dimensões para polinômios até o grau 100 (ou seja, incluindo potências de variáveis até 100).
Mas ninguém provou o caso geral – ou encontrou quaisquer exemplos que mostrassem que a conjectura estava errada.
uma resposta aparentemente simples
Uma das principais razões pelas quais a conjectura Jacobiana é tão intrigante é que, em teoria, deveria ser fácil encontrar contra-exemplos. É fácil encontrar exemplos de funções que unem pontos, e também há exemplos de aplicações polinomiais que possuem um determinante Jacobiano constante.
No entanto, o desafio é encontrar um mapeamento polinomial com ambas as propriedades. Na verdade, como observou um usuário do Math Stack Exchange Uma postagem de 2017“Pelo que sabemos, algum graduado inteligente poderia simplesmente escrever uma fórmula (…) que seria um contra-exemplo a esta conjectura”.
Na verdade, tornou-se uma questão de função do Alpogee, que é pequeno o suficiente para caber em um poste X. Ele encontrou um exemplo de função em três dimensões que tem um determinante Jacobiano constante de -2 e que leva vários pontos de entrada para um único ponto de saída, portanto não é invertível.
Isto mostra que a conjectura é falsa para todas as dimensões maiores que 2, deixando a conjectura original aberta em duas dimensões. A brevidade do contra-exemplo tornou É fácil para outros matemáticos verificar.
Últimos desenvolvimentos na série crescente
A descoberta do Alpoge é a mais recente de uma série de descobertas matemáticas de alto nível feitas por grandes modeladores de linguagem. Exemplos recentes incluem OpenAI Refutação da hipótese da distância unitáriae isso Prova do problema de Erdő 1196 Por Liam Price, um matemático amador de 23 anos.
Ambos os exemplos ilustram um dos pontos fortes mais importantes dos modelos de IA. Eles podem pegar ideias de diferentes áreas da matemática e combiná-las de uma nova maneira para provar resultados surpreendentes.
No momento em que este artigo foi escrito, não foram divulgados detalhes sobre como Alpoge induziu o modelo de IA a produzir estimativas Jacobianas por exemplo e como era seu resultado. No entanto, até agora os resultados parecem ser de natureza diferente.
Ao contrário de muitos outros avanços recentes assistidos pela IA, o contra-exemplo em si é notavelmente simples. Parece que a dificuldade em encontrá-lo não reside numa construção complexa ou numa prova longa, mas em encontrar uma boa maneira de navegar no enorme espaço de busca de possíveis mapeamentos polinomiais para encontrar um com as propriedades corretas.
Isto sugere que a IA pode revelar-se tão valiosa para descobrir objetos matemáticos inesperados como para gerar provas. O que isso significa para o futuro da matemática – e dos matemáticos humanos – ainda está para ser visto.
